人脸特征向量用整数存储精度损失多少？

 问题描述：向量

$\parallel \mathbf{x} \parallel_2^2=1, \parallel \mathbf{y} \parallel_2^2=1$

 ，展开形式为

$\mathbf{x} = (x_1, x_2, ... , x_N)^T, \mathbf{y} = (y_1, y_2, ... , y_N)^T$

 ，相似度时计算公式

$f = \mathbf{x}^T\mathbf{y}$

。

 浮点转定点： 假设转定点数时把[0.0, 1.0] 映射到 [0, M], 则分量最大损失为

$\frac{1}{M}$

 ，考虑四舍五入则为

$\frac{0.5}{M}$

。

 误差分析：

$\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta x,\mathbf{y}+\Delta y) - f(\mathbf{x},\mathbf{y}) \approx \Delta \mathbf{x}^T \cdot \nabla_\mathbf{x} f + \Delta \mathbf{y} ^T \cdot \nabla_\mathbf{y}f$

 其中

$\nabla_\mathbf{x} f = \mathbf{y}, \nabla_\mathbf{y} = \mathbf{x}$

 ， 替换之后

$\Delta f \approx \Delta\mathbf{x}^T\cdot \mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}^T\cdot\mathbf{x}$

 两边再加上绝对值

$|\Delta f| \approx |\Delta\mathbf{x}^T\cdot\mathbf{y}| +|\Delta\mathbf{y}^T\cdot\mathbf{x}|\quad\quad\quad\quad\\ <\frac{0.5}{M}\left(\sum_{i=1}^N|x_i|+\sum_{i=1}^N|y_i|\right)\\ \leq\frac{0.5}{M}(\sqrt{N}+\sqrt{N})\quad\quad\quad\\ =\frac{\sqrt{N}}{M}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

 取N = 256， M = 32767，相似度的误差在万分之五以内。

 进行人脸查找时，这个误差应该可以忽略不计，向量点积由32位浮点转为32位整型，我的机器大概能快5~6倍。

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